Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-a-lnx，g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$，其中a∈R，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；
（Ⅲ）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）要證g（x）＞0（x＞1），即$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，即證$\frac{1}{x}＞\frac{e}{{e}^{x}}$，也就是證$\frac{{e}^{x}}{x}＞e$；
（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得$a{x}^{2}-a-lnx-\frac{1}{x}+{e}^{1-x}＞0$，設(shè)t（x）=$a{x}^{2}-a-lnx-\frac{1}{x}+{e}^{1-x}$，由題意知，t（x）＞0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，即可確定a的取值范圍．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=ax²-a-lnx，得f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，則f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=$±\sqrt{\frac{1}{2a}}$=$±\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）上為增函數(shù)；
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，+∞）上為增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：要證g（x）＞0（x＞1），即$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，
即證$\frac{1}{x}＞\frac{e}{{e}^{x}}$，也就是證$\frac{{e}^{x}}{x}＞e$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則h（x）_min=h（1）=e，
即當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞e，∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；
（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得$a{x}^{2}-a-lnx-\frac{1}{x}+{e}^{1-x}＞0$，
設(shè)t（x）=$a{x}^{2}-a-lnx-\frac{1}{x}+{e}^{1-x}$，
由題意知，t（x）＞0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，
∵t（1）=0，
∴有t′（x）=2ax$-\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-{e}^{1-x}$=$2ax+\frac{1-x}{{x}^{2}}-{e}^{1-x}$≥0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，
令φ（x）=$2ax+\frac{1-x}{{x}^{2}}-{e}^{1-x}$，
則φ′（x）=2a$+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{{x}^{3}}+{e}^{1-x}$=$2a+\frac{x-2}{{x}^{3}}+{e}^{1-x}$，
當(dāng)x≥2時(shí)，φ′（x）＞0，
令h（x）=$\frac{x-2}{{x}^{3}}$，h′（x）=$\frac{-2x+6}{{x}^{4}}$，函數(shù)在[1，2）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=-1．
e^1-x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，
綜上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，
由2a-1≥0，
∴a≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明，考查恒成立成立問題，正確構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．