Question

4．如圖，△ABC中，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$表示出$\overrightarrow{AD}$，根據(jù)三點共線得出m，n的關系，利用基本不等式得出m+2n的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+$$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3m}\overrightarrow{AE}$+$\frac{2}{3n}\overrightarrow{AF}$．
∵D，E，F(xiàn)三點共線，
∴$\frac{1}{3m}+\frac{2}{3n}=1$．
∴m=$\frac{n}{3n-2}$．
∴m+2n=$\frac{n}{3n-2}+2n$=$\frac{6{n}^{2}-3n}{3n-2}$=$\frac{\frac{2}{3}（3n-2）^{2}+\frac{5}{3}（3n-2）+\frac{2}{3}}{3n-2}$=$\frac{2}{3}$（[3n-2）+$\frac{1}{3n-2}$]+$\frac{5}{3}$．
∵（3n-2）+$\frac{1}{3n-2}$≥2，
∴m+2n≥$\frac{2}{3}×2+\frac{5}{3}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，基本不等式的應用，屬于中檔題．