Question

2．己知集合A={x||x-1|＜1}，$B=\{x|\frac{2}{x-1}≥1\}$，$C=\left\{{x\left|{lg（2ax）＜lg（a+x），a＞\frac{1}{2}}\right.}\right\}$，
（Ⅰ）求A∩B
（Ⅱ）若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|x-1|＜1，化為-1＜x-1＜1，可得：A={x|0＜x＜2}，由$\frac{2}{x-1}≥$1，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-1≤2}\end{array}\right.$，可得B={x|1＜x≤3}．即可得出A∩B．
（Ⅱ）由lg（2ax）＜lg（a+x），化為2ax＜a+x，a$＞\frac{1}{2}$．解得x＜$\frac{a}{2a-1}$．利用“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由|x-1|＜1，可得-1＜x-1＜1，解得0＜x＜2，可得：A={x|0＜x＜2}，
由$\frac{2}{x-1}≥$1，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-1≤2}\end{array}\right.$，解得1＜x≤3．可得B={x|1＜x≤3}．
所以A∩B={x|1＜x＜2}．
（Ⅱ）由lg（2ax）＜lg（a+x），可得2ax＜a+x，a$＞\frac{1}{2}$．解得x＜$\frac{a}{2a-1}$．
∵“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件，
∴2≤$\frac{a}{2a-1}$，a$＞\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{1}{2}＜a≤\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、集合的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．