Question

19．在底面為正方形的四棱錐S-ABCD中，SA=SB=SC=SD，異面直線AD與SC所成的角為60°，AB=2，則四棱錐S-ABCD的外接球的表面積為8π．

Answer 1

分析 作出直觀圖，根據(jù)所給條件尋找外接球的球心位置，計(jì)算球的半徑，即可求出四棱錐S-ABCD的外接球的表面積為．

解答 解取底面中心O，BC中點(diǎn)E，連結(jié)SO，SE，OE，則OE=$\frac{1}{2}$AB=1，OA=OB=OC=OD=$\sqrt{2}$，SO⊥平面ABCD，
∴SO⊥OE，
∵AD∥BC，∴∠SCB為異面直線AD，SC所成的角，即∠SCB=60°，
∵SB=SC，∴△SBC是等邊三角形，
∵BC=AB=2，∴SE=$\sqrt{3}$，∴SO=$\sqrt{S{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴OA=OB=OC=OD=OS，即O為四棱錐S-ABCD的外接球球心．
∴外接球的表面積S=4π×（$\sqrt{2}$）²=8π．
故答案為：8π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球與內(nèi)接多面體的關(guān)系，找出外接球的球心位置是解題關(guān)鍵．