Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin(2x-

π

6

)-2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的值域及最小正周期；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，易得值域和最小正周期；
（2）分別解不等式2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

和2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得單調(diào)遞增、減區(qū)間．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin(2x-

π

6

)-2cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-2cos²x
=

3

sin2x-（1+cos2x）=

3

sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-

π

6

）-1
∴函數(shù)f（x）的值域為[-3，1]，
最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）

點評：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性和值域，涉及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．