記曲線fn（x）=
n
x
(n∈N*)圖象上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為an．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
1
an
}的前n項和為Tn，求證：
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
＜
T
2
n
＜
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
（其中n∈N*且n≥2）
考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與函數(shù)的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（I）利用導數(shù)的幾何意義：設(shè)切點(x0，
n
x0
)，切線方程為：y-
n
x0
=-
n
x
2
0
(x-x0)，分別令x=0，y=0，可得S=
1
2
•|
2n
x0
|•|2x0|=2n，即可得出an．
（II）先證明：
T
2
n
＜
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
．由
T
2
n
=(Tn-1+
1
2n
)2，可得
T
2
n
-
T
2
n-1
=
Tn-1
n
+
1
4n2
，n≥2時，
T
2
n
-
T
2
n-1
≤
Tn-1
n
+
1
4n(n-1)
，利用“累加求和”即可得出．再證明：
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
＜
T
2
n
．當n≥2，由Tn=Tn-1+
1
2n
，得到
T
2
n
-
T
2
n-1
=
Tn-1
n
+
1
4n2
，且
Tn
n
=
Tn-1
n
+
1
2n2
，可得
Tn
n
=
T
2
n
-
T
2
n-1
+
1
4n2
，利用“累加求和”及（1）證明可知：(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)＜1-
1
n
＜1，即可得出．
解答： （I）解：∵曲線fn（x）=
n
x
(n∈N*)，
∴
f
′
n
(x)=-
n
x2
，
設(shè)切點(x0，
n
x0
)，切線方程為：y-
n
x0
=-
n
x
2
0
(x-x0)，
令x=0，得到y=
2n
x0
，令y=0，得到x=2x0．
∴S=
1
2
•|
2n
x0
|•|2x0|=2n，
∴an=2n．
（II）證明：先證明：
T
2
n
＜
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
．
∵
T
2
n
=(Tn-1+
1
2n
)2，
∴
T
2
n
-
T
2
n-1
=
Tn-1
n
+
1
4n2
，
∴n≥2時，
T
2
n
-
T
2
n-1
≤
Tn-1
n
+
1
4n(n-1)
，
∴
T
2
n
-
T
2
1
＜
T1
2
+
T2
3
+…
Tn-1
n
+
1
4
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]，
∴
T
2
n
＜
T1
2
+
T2
3
+…
Tn-1
n
+
1
2
-
1
4n
＜
T1
2
+
T2
3
+…
Tn-1
n
+
1
2
．
再證明：
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
＜
T
2
n
．
∵n≥2，由Tn=Tn-1+
1
2n
，得到
T
2
n
-
T
2
n-1
=
Tn-1
n
+
1
4n2
，且
Tn
n
=
Tn-1
n
+
1
2n2
，
∴
Tn
n
=
T
2
n
-
T
2
n-1
-
1
4n2
+
1
2n2
=
T
2
n
-
T
2
n-1
+
1
4n2
，
∴
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
=
T
2
n
-
T
2
1
+
1
4
(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)=
T
2
n
+
1
4
(-1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)，
由（1）證明可知：(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)＜1-
1
n
＜1．
∴當n∈N*，n≥2時，
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
＜
T
2
n
+
1
4
(-1+1)=
T
2
n
．
綜上可得：當n∈N*且n≥2時：
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
＜
T
2
n
＜
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
．
點評：本題考查了遞推式的應用、“累加求和”、不等式的性質(zhì)、“裂項求和”、導數(shù)的幾何意義、切線的方程，考查了分析問題解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
6
）+sin(2x-
π
6
)-2cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的值域及最小正周期；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x 
1-a
3
為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)，則自然數(shù)a的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α∈（π，2π），cosα=-
5
5
，tan2α=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=log
1
2
（x2-4）的單調(diào)遞減區(qū)間為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重（單位：克）情況，從中隨機抽測了100件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[96，106]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間[100，104]上的產(chǎn)品件數(shù)是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinx+
3
cosx則下列命題正確的是
 
  （寫出所有正確命題的編號）
①f（x）的最大值為2．；
②f（x）的圖象關(guān)于點（-
π
6
，0）對稱；
③f（x）在區(qū)間（-
5π
6
，
π
6
）上單調(diào)遞增；
④若實數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個實數(shù)解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=
7π
3
；
⑤f（x）的圖象與g（x）=sin（x-
2π
3
）的圖象關(guān)于x軸對稱．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，a=5，b=7，c=8，用兩種方法求該三角形的面積．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案