Question

3．已知f（x）=alnx+x²-8x+c．
（1）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=6，對任意k∈[-1，1]，函數(shù)y=kx（x∈（0，6]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計算判別式△，通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）問題轉(zhuǎn)化為-c＞6lnx+x²-7x對?x∈（0，6]成立，根據(jù)函數(shù)恒成立求出c的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+x²-8x+c（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-8x+a}{x}$，…（1分）∴△=64-8a
①當(dāng)△=64-8a≤0，即a≥8時，f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-8x+a}{x}$≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（3分）
②當(dāng)△=64-8a＞0，即0＜a＜8時，
方程∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-8x+a}{x}$=0的兩根是x₁=2-$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，x₂=2+$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，且0＜x₁＜x₂，
∴由f′（x）＞0得：0＜x＜x₁或x＞x₂；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0得：x₁＜x＜x₂；
∴f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；…（5分）
綜上，當(dāng)a≥8時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜8時，f（x）的遞增區(qū)間是（0，2-$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$），（2+$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，+∞），
遞減區(qū)間是（2-$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{16-2a}}{2}$）…（6分）
（2）∵對任意k∈[-1，1]，函數(shù)y=kx（x∈（0，6]）的圖象總在函數(shù)f（x）=6lnx+x²-8x+c圖象的上方，
∴kx＞f（x）對?x∈（0，6]，?k∈[-1，1]成立…（7分）
∴kx＞6lnx+x²-8x+c對?k∈[-1，1]成立，
∴-x＞6lnx+x²-8x+c對?x∈（0，6]成立…（9分）
∴-c＞6lnx+x²-7x對?x∈（0，6]成立，
令g（x）=6lnx+x²-7x，則g′（x）=$\frac{（2x-3）（x-2）}{x}$，
由g′（x）=0，解得：x=$\frac{3}{2}$或x=2，
∴g（$\frac{3}{2}$）=6ln$\frac{3}{2}$-$\frac{33}{4}$＜0，
g（2）=6ln2+4-14=6ln2-10＜0，
g（6）=6ln6+36-42=6ln6-6＞0，
∴g（x）_max=g（6）=6ln6-6，
∴-c＞6ln6-6，
即c＜6-6ln6…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，本題有一定的難度．