Question

14．設(shè)k是給定的正整數(shù)，對(duì)于滿(mǎn)足條件a₁-a${\;}_{k+1}^{2}$=2的所有無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}，a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值$\frac{k+1}{8}$．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a_k+1=a₁+kd，可得kd=a_k+1-a₁，又a₁=a${\;}_{k+1}^{2}$+2，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1=（k+1）a_k+1+$\frac{k（k+1）}{2}$d=$\frac{k+1}{2}$$[-（{a}_{k+1}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a_k+1=a₁+kd，∴kd=a_k+1-a₁，
又a₁=a${\;}_{k+1}^{2}$+2，
∴a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1=（k+1）a_k+1+$\frac{k（k+1）}{2}$d=（k+1）$（{a}_{k+1}+\frac{1}{2}kd）$=（k+1）$[{a}_{k+1}+\frac{1}{2}（{a}_{k+1}-{a}_{1}）]$=（k+1）$（\frac{3}{2}{a}_{k+1}-\frac{1}{2}{a}_{k+1}^{2}-1）$=$\frac{k+1}{2}$$[-（{a}_{k+1}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]$，
當(dāng)且僅當(dāng)a_k+1=$\frac{3}{2}$時(shí)，a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值為$\frac{k+1}{8}$．
故答案為：$\frac{k+1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題