Question

5．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c=b．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=l，求$\sqrt{3}$c-2b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）使用正弦定理邊化角，利用和角的正弦函數(shù)得出cosA；
（II）使用正弦定理用B表示出b，c，得出$\sqrt{3}$c-2b關(guān)于B的函數(shù)，根據(jù)B的范圍和余弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：（I）在△ABC中，∵acosC+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c=b，∴sinAcosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$．
（II）由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（$\frac{5π}{6}$-B）=cosB+$\sqrt{3}$sinB．
∴$\sqrt{3}$c-2b=$\sqrt{3}$cosB+3sinB-4sinB=$\sqrt{3}$cosB-sinB=2cos（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜B＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜$π．
∴-1＜cos（B+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴-2＜2cos（B+$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$．
即$\sqrt{3}$c-2b的取值范圍是（-2，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．