Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）不垂直坐標軸的直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓過原點，且線段AB的垂直平分線交y軸于點P（0，-$\frac{3}{2}$），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓所過點A可求得b值，由離心率及a²=b²+c²可求得a值，從而得橢圓方程；
（2）設直線方程y=kx+t及A、B點的坐標，將直線方程代入橢圓方程，化簡整理關于x的一元二次方程，利用韋達定理分別求得x₁+x₂和x₁•x₃的值，寫出y₁+y₂和y₁•y₂的表達式，由題意AB為直徑的圓過原點，可知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，根據向量數量積的坐標化簡整理5t²=4+4k²，△＞0，解得t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，設出中點坐標，由中點坐標公式及直線PD與直線l垂直，求得t的值，即可求得k的值，寫出直線方程．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，a²=b²+c²，解得：a=2，b=1，
所以橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．                      …（4分）
（2）設直線l的方程為y=kx+t，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y得：（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
則由△＞0⇒4k²+1＞t²，
x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，…（6分）
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
y₁•y₂=（kx₁+t）×（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
=k²×$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt（$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$）+t²，
=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵以AB為直徑的圓過坐標原點，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$⇒x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
∴5t²=4+4k²，…（8分）
△＞0⇒4k²+1＞t²，t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又設AB的中點為D（m，n），則有：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{4kt}{1+4{k}^{2}}}\\{n=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=\frac{t}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵直線PD與直線l垂直，所以${k}_{PD}=-\frac{1}{k}$=$\frac{-\frac{3}{2}-n}{-m}$⇒$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{t}{1+4{k}^{2}}=\frac{1}{2}}\\{5{t}^{2}=4+4{k}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}=1}\\{{t}_{2}=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
當t=-$\frac{3}{5}$時，△＜0舍去
當t=1時，k=±$\frac{1}{2}$，
∴所求直線方程為y=$\frac{1}{2}$x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．…（12分）

點評 本題考查直線方程、橢圓方程及直線與橢圓位置關系，考查向量的數量積運算，考查分類討論思想，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，綜合性強，屬于難題．