Question

如圖，已知正四棱錐的底面邊長為2，高為，P是棱SC的中點(diǎn)．

（1）求直線AP與平面SBC所成角的正弦值；

（2）求二面角B?SC?D大小的余弦值；

（3）在正方形ABCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得平面SDC？若存在，求PQ的長；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）直線AP與平面SBC所成角的正弦值為；（2）二面角B?SC?D大小的余弦值為?；（3）不存在滿足條件的點(diǎn)Q.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)正方形ABCD的中心為O，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線AP與面SBC所成的角的正弦值；（2）分別求出平面SDC的法向量和平面SBC的法向量，利用向量法能求出二面角B?SC?D；（3）設(shè)Q（x,y,0），則，若平面SDC,則//，由>1，點(diǎn)Q不在正方形ABCD內(nèi)，故不存在滿足條件的點(diǎn)Q.

試題解析：設(shè)正方形ABCD的中心為O,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

A（1,?1,0），B（1,1,0），C（?1,1,0），D（?1,?1,0），S（0,0,），

因?yàn)镻是SC的中點(diǎn),所以P（?,,）.

（1），設(shè)平面SBC的法向量=（x1,y1,z1），則

,即，可取=（0, ,1），

所以cos<>==.

故直線AP與平面SBC所成角的正弦值為.

（2） 設(shè)平面SDC的法向量=（x2,y2,z2）,則

,即,可取=（?,0,1）,

所以cos<>==,

又二面角B?SC?D為鈍角二面角,故二面角B?SC?D大小的余弦值為?.

（3）設(shè)Q（x,y,0）,則,

若平面SDC,則//,所以

,解得,

但>1,點(diǎn)Q不在正方形ABCD內(nèi),故不存在滿足條件的點(diǎn)Q.

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題；直線與平面所成的角.