Question

已知函數(shù)f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函數(shù)，則下列命題是真命題的是

 

①f（1）=1；
②f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)；
③f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；
④f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
⑤函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x²+2的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函數(shù)，滿(mǎn)足f（-x）=f（x），求出k值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，再逐一分析五個(gè)命題的真假，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+e^x-ke^-x是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
即（1+k）（e^-x-e^x）=0，
即k=-1，
此時(shí)f（x）=x²+e^x+e^-x，
∴①f（1）=1+e+e^-1≠1，故錯(cuò)誤；
②f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x+e^x-e^-x是奇函數(shù)，故正確；
③當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，故正確；
④由③結(jié)合函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最小值2，故f（x）沒(méi)有零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
⑤令h（x）=x²+e^x+e^-x-（x²+2）=e^x+e^-x-2，則當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=0，故函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x²+2的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故正確．
綜上所述命題是真命題的是：②③⑤，
故答案為：②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．