如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的邊長及棱的長度均為2，求：
（1）異面直線AC及A1B1的距離．
（2）點(diǎn)C1到平面A1BC的距離；
（3）三棱錐C1-A1BC的體積．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA1這z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AC及A1B1的距離．
（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)C1到平面A1BC的距離．
（3）求出S△A1BC=
1
2
×2×
(2
2
)2-1
=
7
，由此能求出三棱錐C1-A1BC的體積．
解答： 解：（1）以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA1這z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），C（0，2，0），B（
3
，1，0），
A1（0，0，2），B1（
3
，1，2），C1（0，2，2），
AC
=（0，2，0），
A1B1
=（
3
，1，0），
設(shè)異面直線AC及A1B1的公共法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
AC
=2y=0
n
•
A1B1
=
3
x+y=0
，∴
n
=（0，0，1），
AA1
=（0，0，2），
∴面直線AC及A1B1的距離d1=
|
AA1
•
n
|
|
n
|
=
2
1
=2．
（2）
A1B
=（
3
，1，-2），
A1C
=（0，2，-2），
設(shè)平面A1BC的法向量
m
=（a，b，c），
則
m
•
A1B
=
3
a+b-2c=0
m
•
A1C
=2b-2c=0
，取b=1，得
m
=（
3
3
，1，1），
A1C1
=（0，2，0），
點(diǎn)C1到平面A1BC的距離d2=
|
A1C1 
•
m
|
|
m
|
=
2
1
3
+1+1
=
3
21
7
．
（3）∵A1B=A1C=
1+1
=
2
，BC=2，
∴S△A1BC=
1
2
×2×
(2
2
)2-1
=
7
，
∴三棱錐C1-A1BC的體積V=
1
3
S△A1BC•d2=
1
3
×
7
×
3
21
7
=
3
．
點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a和b是計(jì)算機(jī)在區(qū)間（0，2）上產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，那么函數(shù)f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域?yàn)镽（實(shí)數(shù)集）的概率為（　　）
A、
1+2ln2
4
B、
3-2ln2
4
C、
1+ln2
2
D、
1-ln2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對任意的x＞1，不等式x+
1
x-1
≥c恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，3]
B、[3，+∞）
C、（2，+∞）
D、（-∞，2]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若變量x、y滿足約束條件
y≤x 
x+y≤1
y≥-1  
，且z=2x+y的最大值和最小值分別為M和m，則M-m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+ex-ke-x是偶函數(shù)，則下列命題是真命題的是
 

①f（1）=1；
②f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)；
③f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；
④f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
⑤函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x2+2的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A={x|9log3
3
≤log3x+2＜log363}，函數(shù)y=
2log
1
2
(x-2)-
1
4
的定義域?yàn)锽．
（1）求∁RA；
（2）求（∁RA）∩B．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（-2，2），B（-3，-1），試在直線l：2x-y-1=0上求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足acosB=
2
bsinA，則
3
sinC-2cosA的最大值為（　　）
A、1
B、
2
C、
3
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)x，使得sinx+cosx=
3
2
；
②若α，β為第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；
③函數(shù)y=cos（
2x
3
+
7π
2
）是奇函數(shù)；其中正確的結(jié)論是
 
（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

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同步練習(xí)冊答案