Question

15．已知a，b是非零實(shí)數(shù)，f（x）=e^bx-ax，若對(duì)任意的，x∈R，f（x）≥1恒成立，則$\frac{a}$=（　�。�

• A． 2
• B． ln2
• C． 1
• D． $\root{3}{2}$

Answer 1

分析 對(duì)f（x）求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)為零，可得極值點(diǎn)$x=\frac{{ln\frac{a}}}$，代入函數(shù)f（x），則$f（\frac{{ln\frac{a}}}）=\frac{a}（1-ln\frac{a}）$=1（極小值，因?yàn)閒（x）的二階導(dǎo)數(shù)恒大于0），得到$1-ln\frac{a}=\frac{a}$，考察方程$1-lnx=\frac{1}{x}$，即$lnx=1-\frac{1}{x}$，畫出函數(shù)y=lnx和函數(shù)$y=1-\frac{1}{x}$，可求得x=1，即可得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)f（x）求導(dǎo)，f′（x）=be^bx-a，
令導(dǎo)函數(shù)為零，即f′（x）=be^bx-a=0，可得極值點(diǎn)$x=\frac{{ln\frac{a}}}$，
代入函數(shù)f（x），則$f（\frac{{ln\frac{a}}}）=\frac{a}（1-ln\frac{a}）$=1，得到$1-ln\frac{a}=\frac{a}$，
考察方程$1-lnx=\frac{1}{x}$，即$lnx=1-\frac{1}{x}$，
畫出函數(shù)y=lnx和函數(shù)$y=1-\frac{1}{x}$，可求得x=1，
因而$\frac{a}=1$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．