Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C上任意一點到點$（\frac{3}{2}，0）$的距離與到直線$x=-\frac{3}{2}$的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）若曲線C上的兩個動點A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4，線段AB的垂直平分線與x軸交于點C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）依題意，曲線C是以F$（\frac{3}{2}，0）$為焦點，直線$x=-\frac{3}{2}$為準線的拋物線，由此可求曲線E的方程；
（2）設線段AB的中點為M（x₀，y₀），求出線段AB的垂直平分線的方程，直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達定理，進而可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）^{2}（12-{{y}_{0}}^{2}）}$，利用換元法，構造函數(shù)，利用導數(shù)知識，即可求得結論．

解答 解：（1）∵曲線C上任意一點到點$（\frac{3}{2}，0）$的距離與到直線$x=-\frac{3}{2}$的距離相等，
∴曲線C是以F$（\frac{3}{2}，0）$為焦點，直線$x=-\frac{3}{2}$為準線的拋物線．
∴曲線C的方程為y²=6x．
（2）設線段AB的中點為M（x₀，y₀），則x₀=2，y₁+y₂=2y₀，∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$，
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{3}$（x-2）．
令y=0，得x=5，故C（5，0）為定點．
又直線AB的方程為y-y₀=$\frac{3}{{y}_{0}}$（x-2），與y²=6x聯(lián)立，消去x得y²-2y₀y+2y₀²-12=0．
由韋達定理得y₁+y₂=2y₀，y₁y₂=2y₀²-12．
∴|AB|=$\frac{2}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）（12-{{y}_{0}}^{2}）}$
∵點C到直線AB的距離為h=|CM|=$\sqrt{9+{{y}_{0}}^{2}}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|h=$\frac{1}{3}\sqrt{（9+{{y}_{0}}^{2}）^{2}（12-{{y}_{0}}^{2}）}$
令t=9+y₀²（t＞9），則12-y₀²=21-t
設f（t）=（9+y₀²）²（12-y₀²）=t²（21-t）=-t³+21t²，∴f′（t）=-3t（t-14）
當9＜t＜14時，f′（t）＞0；當t＞14時，f′（t）＜0．
∴f（t）在（9，14）上單調遞增，在（14，+∞）上單調遞減．
∴當t=14時，[f（t）]_max=14²×7．故△ABC面積的最大值為$\frac{14}{3}\sqrt{7}$．（13分）

點評 本題考查拋物線的定義，考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算及最值的求解，屬于中檔題．