Question

4．已知△ABC的三個頂點在橢圓4x²+5y²=6上，其中A，B兩點關(guān)于原點O對稱，設(shè)直線AC的斜率為k₁，直線BC的斜率為k₂．則k₁k₂的值為（　�。�

• A． -$\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{4}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀），C（m，n）及直線AB的方程y=kx，代入橢圓方程及斜率計算公式即可得出k₁k₂．

解答 解：設(shè)C（m，n），直線AB的方程為：y=kx，
可設(shè)：A（x₀，kx₀），B（-x₀，-kx₀），
4m²+5n²=6，$4{x}_{0}^{2}+5{k}^{2}{x}_{0}^{2}=6$，
∴$4{m}^{2}-4{x}_{0}^{2}=5{k}^{2}{x}_{0}^{2}-5{n}^{2}$，
k₁k₂=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$•$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{{m}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{\frac{5}{4}×（{k}^{2}{x}_{0}^{2}-{n}^{2}）}$=-$\frac{4}{5}$，
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．