Question

7．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AB的中點，則點C到平面A₁DM的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．

Answer 1

分析 連接A₁C、MC，三棱錐A₁-DMC就是三棱錐C-A₁MD，利用三棱錐的體積公式進行轉換，即可求出點C到平面A₁DM的距離．

解答 解：連接A₁C、MC可得：
S_△CMD=$\frac{1}{2}$S _ABCD=$\frac{1}{2}$a²，
△A₁DM中，A₁D=$\sqrt{2}$a，A₁M=MD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴S_△A1MD=$\frac{1}{2}$A₁M•MDsinA ₁MD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
三棱錐的體積：V _A1-MCD=V _C-A1DM
所以 $\frac{1}{3}$S_△MCD×AA₁=$\frac{1}{3}$S_△AD1M×d  （設d是點C到平面A₁DM的距離），
∴d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．

點評 本題以正方體為載體，考查了立體幾何中點、線、面的距離的計算，屬于中檔題．運用體積計算公式，進行等體積轉換來求點到平面的距離，是解決本題的關鍵．