Question

5．已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ+4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$（t為參數）
（1）寫出曲線C的參數方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的傾斜角a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C的直角坐標方程，再求曲線C的參數方程．
（2）先求出直線l的普通方程為sinα•x-cosα•y-sinα=0，再求出圓心（2，1）到直線sinα•x-cosα•y-sinα=0的距離，由此利用勾股定理能求出直線l的傾斜角a的值．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ+4cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=2y+4x，
即（x-2）²+（y-1）²=5，
∴曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5}cosα}\\{y=1+\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.，0≤α＜2π$．
（2）∵直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosa}\\{y=tsina}\end{array}\right.$（t為參數），
∴消去參數得直線l的普通方程為sinα•x-cosα•y-sinα=0，
∵曲線C：（x-2）²+（y-1）²=5是圓心為（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$的圓，
∴圓心（2，1）到直線sinα•x-cosα•y-sinα=0的距離：
d=$\frac{|2sinα-cosα-sinα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=|sinα-cosα|=|$\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）$|，
∵直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴$cd9uy95^{2}+（\sqrt{3}）^{2}=（\sqrt{5}）^{2}$，
∴d=|$\sqrt{2}sin（α-\frac{π}{4}）$|=$\sqrt{2}$，
∴$sin（α-\frac{π}{4}）$=1，或$sin（α-\frac{π}{4}）$=-1，
∵直線l的傾斜角a∈[0，π），∴$α-\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$或$sin（α-\frac{π}{4}）$=-1無解，
∴$α=\frac{3π}{4}$．
∴直線l的傾斜角a的值為$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查圓的參數方程的求法，考查直線的傾斜角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．