Question

13．如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=a（a＞0），AC=2，AA₁=1，點D在棱B₁C₁上

（1）若點D為棱B₁C₁的中點（如圖1），求證：AC₁∥平面A₁BD；
（2）若B₁D：DC₁=1：3（如圖2），試問：當a為何值時，直線BB₁與平面A₁BD所成角的大小為30°？

Answer 1

分析 （1）取BC的中點E，利用面面平行的性質定理進行證明即可．
（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立線面角之間的方程關系進行求解即可．

解答 （1）證明：取BC的中點E，連接AE，C₁E，
∵D為棱B₁C₁的中點
∴在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AE∥A₁D，
四邊形BEC₁D為平行四邊形，
則EC₁∥BD，
∵BD∩A₁D=D，
∴平面A₁DB∥平面AC₁E，
∵AC₁?平面AC₁E，
∴AC₁∥平面A₁BD．
（2）∵AB⊥AC，AB=a（a＞0），AC=2，AA₁=1，
∴建立以A為坐標原點，AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，1），B₁（a，0，1），
C₁（0，2，1）
∵B₁D：DC₁=1：3，
∴B₁D=$\frac{1}{4}$B₁C₁，
過D作DH⊥B₁A₁，
則DH=$\frac{1}{4}$A₁C₁=$\frac{1}{4}×2$=$\frac{1}{2}$，B₁H=$\frac{1}{4}$B₁A₁=$\frac{1}{4}$a，即HA₁=a-$\frac{1}{4}$a=$\frac{3}{4}$a，
即D（$\frac{3}{4}$a，$\frac{1}{2}$，1），
則$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（a，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{3}{4}$a，$\frac{1}{2}$，0），
設平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=ax-z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=$\frac{3}{4}$ax+$\frac{1}{2}$y=0，
令x=1，則z=a，y=-$\frac{3}{2}$a，即$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{3}{2}$a，a），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），
∵直線BB₁與平面A₁BD所成角的大小為30°，
∴sin30°=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$|=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}+（-\frac{3}{2}a）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{3}{4}$a²=1，a²=$\frac{4}{3}$，則a=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
即當a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，直線BB₁與平面A₁BD所成角的大小為30°．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及線面角的應用，根據(jù)面面平行的判定定理證明線面平行，以及建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立線面角的關系是解決本題的關鍵．