Question

19．在△ABC中，△ABC的外接圓半徑為R，若C=$\frac{3π}{4}$，且sin（A+C）=$\frac{BC}{R}$•cos（A+B）．
（1）證明：BC，AC，2BC成等比數(shù)列；
（2）若△ABC的面積是1，求邊AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、正弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，即可證明BC，AC，2BC成等比數(shù)列；
（2）根據(jù)題意和三角形的面積公式列出方程，結(jié)合已知的方程求出a、b，根據(jù)余弦定理求出AB的值．

解答 證明：（1）∵A+B+C=π，sin（A+C）=$\frac{BC}{R}$•cos（A+B），
∴sinB=-2sinAcosC，
在△ABC中，由正弦定理得，b=-2acosC，即AC=-2BCcosC，
∵C=$\frac{3π}{4}$，∴AC=$\sqrt{2}$BC，則AC²=2BC²=BC•2BC，
∴BC，AC，2BC成等比數(shù)列；
解：（2）記角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{2}}{4}ab=1$，則ab=2$\sqrt{2}$，
由（1）知，b=$\sqrt{2}$a，
聯(lián)立兩式解得a=$\sqrt{2}$，b=2，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC
=2+4+4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=10，
∴AB=c=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理，等比數(shù)列的證明，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．