Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

1

2

（ωx+φ）-2

3

sin

1

2

（ωx+φ）cos

1

2

（ωx+φ）（ω＞0.0＜φ＜

π

2

）其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，且過點（-

π

6

，2）．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的達(dá)式；
（Ⅱ）若f（

α

2

-

π

6

）=

1

2

，α是第三象限角，求cosα的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)二倍角公式、兩角和的余弦函數(shù)公式化簡解析式，再由條件求出函數(shù)的周期，由周期公式求出ω的值，再把點代入結(jié)合條件和特殊角的余弦值求出φ的值，代入解析式化簡即可；
（Ⅱ）根據(jù)題意把

α

2

-

π

6

代入解析式化簡可得cos(α+

π

3

)=-

1

4

，再根據(jù)角的所在的象限和平方關(guān)系求出sin（α+

π

3

）的值，根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式求出
cosα=cos[（α+

π

3

）-

π

3

]的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=2cos²

1

2

（ωx+φ）-2

3

sin

1

2

（ωx+φ）cos

1

2

（ωx+φ）
=cos（ωx+φ）-

3

sin（ωx+φ）+1
=2cos[(ωx+φ)+

π

3

]+1，
由圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

得，函數(shù)的周期T=π，
所以

2π

ω

=π，得ω=2，
又過點（-

π

6

，2），則2cos[(-

π

3

+φ)+

π

3

]+1=2，
化簡得，cosφ=

1

2

，
由0＜φ＜

π

2

得，φ=

π

3

，
所以f(x)=2cos(2x+

2π

3

)+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(

α

2

-

π

6

)=2cos[2(

α

2

-

π

6

)+

2π

3

]+1=

1

2

，
化簡得，cos(α+

π

3

)=-

1

4

，
因為α是第三象限角，且cos(α+

π

3

)=-

1

4

＜0，
則角α+

π

3

是第三象限，
所以sin（α+

π

3

）=-

1-cos2(α+ π 3 )

=-

15

4

，
所以cosα=cos[（α+

π

3

）-

π

3

]=cos（α+

π

3

）cos

π

3

+sin（α+

π

3

）sin

π

3

=-

1

4

×

1

2

+(-

15

4

)×

3

2

=-

1+3 5

8

．

點評：本題考查了二倍角公式、兩角和差的余弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查變角在求三角函數(shù)值中的應(yīng)用．