Question

15．某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤與投資單位是萬元）

（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的模型設(shè)出函數(shù)解析式，從兩個(gè)圖中分別找出特殊點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出兩個(gè)函數(shù)解析式．
（2）將企業(yè)獲利表示成對(duì)產(chǎn)品B投資x的函數(shù)；將函數(shù)中的$\sqrt{10-x}$換元為t，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出對(duì)稱軸，求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）設(shè)y=k₁x，由0.25=k₁x₁得：k₁=0.25
設(shè)y=k₂$\sqrt{x}$，由2.5=k₂$\sqrt{4}$得k₂=1.25
∴所求函數(shù)為y=0.25x及y=1.25$\sqrt{x}$…（4分）
（2）設(shè)投入A產(chǎn)品x萬元，則投入B產(chǎn)品為10-x萬元，企業(yè)獲得的利潤為y=0.25x+1.25$\sqrt{10-x}$…（6分）
令$\sqrt{10-x}$=t（0≤t≤10）則
y=$\frac{1}{4}$（10-t²）+$\frac{5}{4}$t=$\frac{1}{4}$（-t²+5t+10）
=$\frac{1}{4}$[-（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{65}{4}$]…（8分）
當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，y取得最大值$\frac{65}{16}$萬元，此時(shí)x=3.75萬元
故對(duì)A、B兩種產(chǎn)品分別投資3.75萬元、6.25萬元時(shí)，企業(yè)可獲得最大利潤$\frac{65}{16}$萬元．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查將實(shí)際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對(duì)稱軸有關(guān)．