Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx（a＞0，b∈R），若對(duì)任意x＞0，f（x）≥f（1），則（　�。�

• A． lna＜-2b
• B． lna≤-2b
• C． lna＞-2b
• D． lna≥-2b

Answer 1

分析 由f（x）≥f（1），知x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，所以f′（1）=0，從而得到b=1-2a，-2b=-（2-4a），作差：lna-（-2b）=lna+2-4a，所以構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+2-4x，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可求得g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜-（2-4a）=-2b，即lna＜-2b．

解答 解：f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$，
由題意可知，f（x）在x=1處取得最小值，即x=1是f（x）的極值點(diǎn)；
∴f′（1）=0，∴2a+b=1，即b=1-2a；
令g（x）=2-4x+lnx（x＞0），則g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$；
∴當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{4}$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{4}$）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞$\frac{1}{4}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{4}$，+∞）上單調(diào)遞減；
∴g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1+ln$\frac{1}{4}$=1-ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0；
故lna＜-2b，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查最值的概念，極值的定義，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較兩個(gè)式子大小的方法．