Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）當(dāng)x∈R時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求a的取值范囤；
（3）設(shè)不等式f（x）≥a對于滿足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對一切實數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒為非負(fù)，利用根的判別式小于等于0即可；
（2）對于[-2，2]區(qū)間內(nèi)的任意x恒成立，同樣考慮二次函數(shù)的最值問題，按區(qū)間與對稱軸的關(guān)系分三種情況討，最后結(jié)合圖象即可解決問題；
（3）令g（x）=x²+ax+3-a≥0，通過a的范圍得到△≤0，從而求出x的范圍即可．

解答 解：（1）∵x∈R時，有x²+ax+3-a≥0恒成立，
須△=a²-4（3-a）≤0，即a²+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時，設(shè)g（x）=x²+ax+3-a≥0，
分如下三種情況討論（如圖所示）：

①如圖（1），當(dāng)g（x）的圖象恒在x軸上方時，滿足條件時，有△=a²-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如圖（2），g（x）的圖象與x軸有交點，
當(dāng)-$\frac{a}{2}$≤-2時，g（x）≥0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{x=-\frac{a}{2}≤-2}\\{g（-2）≥0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4（3-a）≥0}\\{-\frac{a}{2}≤-2}\\{4-2a+3-a≥0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-6}\\{a≥4}\\{a≤\frac{7}{3}}\end{array}\right.$解之得a∈Φ．
③如圖（3），g（x）的圖象與x軸有交點，
-$\frac{a}{2}$≥-2時，g（x）≥0，即 $\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{x=-\frac{a}{2}≥2}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4（3-a）≥0}\\{-\frac{a}{2}≥2}\\{4+2a+3-a≥0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-6}\\{a≤-4}\\{a≥-7}\end{array}\right.$?-7≤a≤-6
綜合①②③得a∈[-7，2]．
（3）令g（x）=x²+ax+3-a≥0，
則△=a²-4（3-a）=a²+a-12=${（a+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{49}{4}$，
∵1≤a≤3，∴$\frac{9}{4}$≤${（a+\frac{1}{2}）}^{2}$≤$\frac{49}{4}$，
∴△≤0，
∴x∈R．

點評 本題主要了一元二次不等式恒成立的問題，注意（1）、（2）兩問的不同點，都是利用了二次函數(shù)圖象的特點數(shù)形結(jié)合解決問題的．