Question

13．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，點P是拋物線x²=4y上的一動點，P到雙曲線C的右焦點F₁（c，0）的距離與到直線y=-1的距離之和的最小值為$\sqrt{6}$，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 確定拋物線的焦點坐標和準線方程，雙曲線的離心率，再利用拋物線的定義，結合P到雙曲線C的上焦點F₁（c，0）的距離與到直線y=-1的距離之和的最小值為$\sqrt{6}$，可得FF₁=$\sqrt{6}$，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結論．

解答 解：拋物線x²=4y的焦點F（0，1），準線的方程為y=-1，
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由P到雙曲線C的右焦點F₁（c，0）的距離與到直線y=-1的距離之和的最小值為$\sqrt{6}$，
由拋物線的定義可得P到準線的距離即為P到焦點的距離
為|PF|，
可得|PF|+|PF₁|的最小值為$\sqrt{6}$，
當P，F(xiàn)，F(xiàn)₁三點共線，可得最小值|FF₁|=$\sqrt{1+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有c=$\sqrt{5}$，
由c²=a²+b²，
解得a=2，b=1，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
故選：B．

點評 本題主要考查雙曲線和拋物線性質的應用，根據拋物線的性質結合拋物線的定義求出c的值是解決本題的關鍵．