Question

8．已知圓C過定點(diǎn)A（0，p），圓心C在拋物線x²=2py（p＞0）上，圓C與x軸交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)C在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，圓C與拋物線的準(zhǔn)線交于G、H，弦GH的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)圓心C在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
①|(zhì)MN|是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
②記|AM|=m，|AN|=n．求$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$的最大值，并求出此時(shí)圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式建立方程進(jìn)行求解即可．
（2）①根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
②求出相應(yīng)的長(zhǎng)度，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）拋物線的準(zhǔn)線為y=-$\frac{p}{2}$，當(dāng)C在拋物線頂點(diǎn)時(shí)，圓C的半徑為p，圓C的方程為x²+y²=p²．
∴弦長(zhǎng)l=2$\sqrt{{p}^{2}-（\frac{p}{2}）^{2}}$=2$•\sqrt{\frac{3}{4}{p}^{2}}$=$\sqrt{3}$p=2$\sqrt{3}$．
∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y．
（2）①記C（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），圓C的半徑r=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}}{4}-2）^{2}}$．
由垂徑定理知|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=2$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}-4•\frac{{a}^{2}}{4}+4-（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=2×2=4．
∴|MN|為定值4．
②由①知，M（a-2，0），N（a+2，0），
∴|AM|=$\sqrt{（a-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4a+8}$，
|AN|=$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4a+8}$．
∴$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{2{a}^{2}+16}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=$\frac{2\sqrt{（{a}^{2}+8）^{2}}}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=2•$\frac{\sqrt{{a}^{4}+16{a}^{2}+64}}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=2$•\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$，
當(dāng)a=0時(shí)，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=2．
當(dāng)a≠0時(shí)，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=2•$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$=2$•\sqrt{1+\frac{16}{{a}^{2}+\frac{64}{{a}^{2}}}}$≤2$•\sqrt{1+\frac{16}{2×8}}$=2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=±2$\sqrt{2}$時(shí)，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$有最大值為2$\sqrt{2}$，
此時(shí)圓C的方程為（x±2$\sqrt{2}$）²+（y-2）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線性質(zhì)的應(yīng)用以及直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)相應(yīng)的弦長(zhǎng)公式以及基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．