Question

8．已知圓C過定點A（0，p），圓心C在拋物線x²=2py（p＞0）上，圓C與x軸交于M、N兩點，當C在拋物線頂點時，圓C與拋物線的準線交于G、H，弦GH的長為2$\sqrt{3}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當圓心C在拋物線上運動時．
①|MN|是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
②記|AM|=m，|AN|=n．求$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$的最大值，并求出此時圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義，結合圓的弦長公式建立方程進行求解即可．
（2）①根據(jù)直線和圓相交的弦長公式進行計算即可．
②求出相應的長度，結合基本不等式進行求解．

解答 解：（1）拋物線的準線為y=-$\frac{p}{2}$，當C在拋物線頂點時，圓C的半徑為p，圓C的方程為x²+y²=p²．
∴弦長l=2$\sqrt{{p}^{2}-（\frac{p}{2}）^{2}}$=2$•\sqrt{\frac{3}{4}{p}^{2}}$=$\sqrt{3}$p=2$\sqrt{3}$．
∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y．
（2）①記C（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），圓C的半徑r=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}}{4}-2）^{2}}$．
由垂徑定理知|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=2$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}-4•\frac{{a}^{2}}{4}+4-（\frac{{a}^{2}}{4}）^{2}}$=2×2=4．
∴|MN|為定值4．
②由①知，M（a-2，0），N（a+2，0），
∴|AM|=$\sqrt{（a-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4a+8}$，
|AN|=$\sqrt{（a+2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4a+8}$．
∴$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{mn}$=$\frac{2{a}^{2}+16}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=$\frac{2\sqrt{（{a}^{2}+8）^{2}}}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=2•$\frac{\sqrt{{a}^{4}+16{a}^{2}+64}}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=2$•\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$，
當a=0時，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=2．
當a≠0時，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=2•$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$=2$•\sqrt{1+\frac{16}{{a}^{2}+\frac{64}{{a}^{2}}}}$≤2$•\sqrt{1+\frac{16}{2×8}}$=2$\sqrt{2}$．
當且僅當a=±2$\sqrt{2}$時，$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$有最大值為2$\sqrt{2}$，
此時圓C的方程為（x±2$\sqrt{2}$）²+（y-2）²=8．

點評 本題主要考查拋物線性質的應用以及直線和圓的位置關系的應用，根據(jù)相應的弦長公式以及基本不等式的性質進行轉化求解是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．