分析 (1)根據(jù)條件可知,f(x)為奇函數(shù),且在原點(diǎn)有定義,從而得出f(0)=b=0,再由$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$即可求出a=1,從而得出$f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2}}$;
(2)根據(jù)增函數(shù)的定義,設(shè)任意的x1,x2∈(-1,1),并且x1<x2,然后作差,通分,提取公因式,證明f(x1)<f(x2),從而得出f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
(3)容易判斷f(x)為奇函數(shù),從而由f(2x-1)+f(x)<0便可得到f(2x-1)<f(-x),根據(jù)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),便可得到-1<2x-1<-x<1,解該不等式組便可得出原不等式的解集.
解答 解:(1)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱,且f(-x)=-f(x);
∴f(x)為奇函數(shù);
∴$f(0)=\frac{1+0}=0$;
∴b=0,則$f(x)=\frac{ax}{1+{x}^{2}}$;
∴$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{a}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}$;
∴a=1;
∴$f(x)=\frac{x}{1+{x}^{2}}$;
(2)證明:設(shè)-1<x1<x2<1,則:
$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})(1-{x}_{1}{x}_{2})}{(1+{{x}_{1}}^{2})(1+{{x}_{2}}^{2})}$;
∵-1<x1<x2<1;
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(1+x12)(1+x22)>0;
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);
(3)f(x)顯然為奇函數(shù);
∴由f(2x-1)+f(x)<0得,f(2x-1)<-f(x);
∴f(2x-1)<f(-x);
由(1)知f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),則:
-1<2x-1<-x<1,
解得$0<x<\frac{1}{3}$;
∴原不等式的解集為$(0,\frac{1}{3})$.
點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義,奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時,原點(diǎn)處的函數(shù)值為0,增函數(shù)的定義,根據(jù)增函數(shù)定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程,根據(jù)單調(diào)性解不等式的方法.
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