Question

16．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，側(cè)面ABB₁A₁是菱形，∠DAB=∠DAA₁．
（1）求證：A₁B⊥AD；
（2）若AD=AB=2BC=4，∠A₁AB=60°，點D在平面ABB₁A₁上的射影恰為線段A₁B的中點O．求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

Answer 1

分析 （1）通過已知條件易得AB=AA₁，結(jié)合∠DAB=∠DAA₁，可得△DAA₁≌△DAB，進一步得到OD⊥A₁B，由線面垂直的判定得A₁B⊥平面AOD，即得A₁B⊥AD；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高即為平面ABCD與平面A₁B₁C₁D₁間的距離，于是轉(zhuǎn)化為點A₁到平面ABCD的距離，考慮三棱錐D-ABA₁，利用等體積，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接A₁B、AB₁相交于O，連接DO
∵側(cè)面ABB₁A₁為菱形，∴AB=AA₁，又∠DAB=∠DAA₁，AD=AD，
∴△DAA₁≌△DAB，則BD=A₁D，
∴OD⊥A₁B，又A₁B⊥AB₁，
∴A₁B⊥平面AOD，即得A₁B⊥AD；
（2）解：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高即為平面ABCD與平面A₁B₁C₁D₁間的距離，于是轉(zhuǎn)化為點A₁到平面ABCD的距離，考慮三棱錐D-ABA₁，
∵∠A₁AB=60°，側(cè)面ABB₁A₁是菱形，DO⊥A平面BB₁A₁，O是A₁B的中點，
∴DO=2，
Rt△DOB中，DO=OB=2，∴DB=2$\sqrt{2}$．
∵AB=AD=4，DB=2$\sqrt{2}$，∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{16-2}$=2$\sqrt{7}$
設點A₁到平面ABCD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}×2$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{7}×h$
∴h=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，空間中兩直線的位置關系，考查四棱柱的高，屬于中檔題．