Question

4．給出以下命題：
①方程4x²-8x+3=0的兩個根可分別作為橢圓與雙曲線的離心率；
②若向量$\overrightarrow{a}$=（m，-2，3）與$\overrightarrow$=（5，m²，1）的夾角為銳角，則-$\frac{1}{2}$＜m＜3；
③在正項等差數(shù)列{a_n}中，$\frac{a_3}{a_2+a_9}$+$\frac{a_8}{a_5+a_6}$=1；
④當x＞0時，函數(shù)f（x）=x²+$\frac{1}{x^2}$-8x-$\frac{8}{x}$+22的最小值是4．
其中正確命題的序號是①②③④．

Answer 1

分析 ①求出方程的根，結(jié)合橢圓和雙曲線離心率的關(guān)系進行判斷．
②根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用進行求解．
③根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解．
④利用換元法結(jié)合基本不等式以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解．

解答 解：①由4x²-8x+3=0得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，即方程的兩個根可分別作為橢圓與雙曲線的離心率；故①正確，
②若向量$\overrightarrow{a}$=（m，-2，3）與$\overrightarrow$=（5，m²，1）的夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，（∵兩個向量方向不相同），
∴5m-2m²+3＞0，即2m²-5m-3＜0，得-$\frac{1}{2}$＜m＜3；故②正確，
③在正項等差數(shù)列{a_n}中，$\frac{a_3}{a_2+a_9}$+$\frac{a_8}{a_5+a_6}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{8}}{{a}_{2}+{a}_{9}}=\frac{{a}_{2}+{a}_{9}}{{a}_{2}+{a}_{9}}$=1，故③正確；
④當x＞0時，函數(shù)f（x）=x²+$\frac{1}{x^2}$-8x-$\frac{8}{x}$+22=（x+$\frac{1}{x}$）²-8（x+$\frac{1}{x}$）+20，
設(shè)t=x+$\frac{1}{x}$，則t≥2，此時函數(shù)等價為y=t²-8t+20=（t-4）²+4，
故當t=4時，函數(shù)取得的最小值4，故④正確，
故答案為：①②③④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，但難度不大．