Question

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EA⊥EB1．已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，求： (1) 異面直線AB與EB1的距離 (2) 二面角A－EB1－A1的平面角的正切值

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：方法一　如圖所示，∵AB⊥平面BB1C1C，∴AB⊥BE． 　　又EB1⊥EA，且EA在平面BCC1B1內(nèi)的射影為EB， 　　由三垂線定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是異面直線AB與EB1的公垂線．在平行四邊形BCC1B1中，設(shè)BE=x，則EB1=．作BD⊥CC1，交CC1于D，則BD=BC·sin=． 　　在△BEB1中，由面積關(guān)系得x·=·2·，即(x2－1)(x2－3)=0． 　　解得x=±1，x=±(負(fù)根舍去)． 　　當(dāng)x=時(shí)，△BCE中，CE2＋12－2CE·cos=3，解得CE=2，故此時(shí)E與C1重合， 　　由題意舍去x=． 　　因此x=1，即異面直線AB與EB1的距離為1． 　　方法二　如圖所示，(1)由AE⊥EB，得·=0．又由AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥EB1，從而·=0．故·=(＋)·=·＋·=0． 　　即⊥，故線段BE是異面直線AB與EB1，的公垂線． 　　設(shè)O是BB1的中點(diǎn)，連結(jié)EO及OC1，則在Rt△BEB1中，EO=BB1=OB1=1．∵在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=，∴△OB1C1是正三角形，從而OC1=OB1=1． 　　又∵∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=－，∴△OC1E是正三角形，∴C1E=1，故CE=1．易見(jiàn)△BCE是正三角形，從而B(niǎo)E=1，即異面直線AB與EB1的距離是1． 　　方法三　(1)以B為原點(diǎn)，、分別為y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 　　由于BC=1，BB1=2，AB=．∠BCC1=，在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B(0，0，0)，A(0，0，)，B1(0，2，0)，C(，－，0)，C1(，，0)． 　　設(shè)E(，a，0)，由EA⊥EB1，得·=0即 　　0=(－，－a，)·(－，2－a，0) 　　=＋a(a－2)=a2－2a十， 　　得(a－)(a－)=0，則a=或a=(舍去)，故E(，，0)． 　　·(，，0)·(－，，0)=－＋=0，即BE⊥EB1，又AB⊥平面BCC1B1，故AB⊥BE．因此BE是異面直線AB、EB1的公垂線，則｜｜==1．故異面直線AB、EB1的距離為1．

(2)

方法一　過(guò)E作EG∥B1A1，則GE⊥平面BCC1B1，故GE⊥EB1，且GE在平面A1B1E內(nèi)，又已知AE⊥EB1． 　　故∠AEG是二面角A－EB1－A1的平面角． 　　因此EG∥B1A1∥BA，∠AEG=∠BAE，故tan∠AEG===． 　　方法二　由(1)可得∠AEB是二面角A－EB1－B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，BE=1，得tan∠AEB=． 　　又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C， 　　故二面角A－EB1－A1的平面角θ=－∠AEB，故tanθ=tan(－∠AEB)=cot∠AEB=． 　　方法三　由已知有⊥，⊥，故二面角A－EB1－A1的平面角θ的大小為向量與的夾角． ∵==(0，0，)，=(－，－，)故cosθ== 　　即tanθ=． 　　點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)平面A1B1E⊥平面B1BCC1．