Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+5x+6$在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分離參數(shù)法，借助于導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：求導(dǎo)數(shù)可得：f′（x）=x²+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f′（x）≤0，
即x²+2ax+5≤0在[1，3]恒成立，
∴a≤-$\frac{{x}^{2}+5}{2x}$在[1，3]恒成立，
設(shè)g（x）=-$\frac{{x}^{2}+5}{2x}$，則g′（x）=$\frac{5{-x}^{2}}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）=0得：x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$（舍去）
∴當(dāng)1≤x≤$\sqrt{5}$時，g′（x）≥0，當(dāng)$\sqrt{5}$≤x≤3時，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，$\sqrt{5}$）上遞增，在（$\sqrt{5}$，3）上遞減，
∵g（1）=-3 g（3）=-$\frac{7}{3}$，
∴最小值為g（1）=-3
∴當(dāng)f′（x）≤0時，a≤g（x）≤g（1）=-3
∴a≤-3，
故答案為：（-∞，-3]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，分離參數(shù)，求函數(shù)的最值是關(guān)鍵．