Question

3．AC是圓的直徑，B、D在圓上且AB=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{5}$，則$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=2．

Answer 1

分析 可連接CD，CB，從而得到CD⊥AD，BC⊥AB，便可得到$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AD}$方向上的投影就是AD，所以$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{|AC}||\overrightarrow{AD}|•COS∠CAD$-$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|COS∠CAB$=AD²-AB²．

解答 解：如圖，連接CD，CB；
∵AC為直徑；
∴CD⊥AD，BC⊥AB；
∴$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{|AC}||\overrightarrow{AD}|•COS∠CAD$-$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|COS∠CAB$=AD²-AB²=5-3=2；
故答案為：2．

點評 本題考查直徑所對的圓周角為直角，余弦函數(shù)的定義，以及向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運算關(guān)鍵明確$\overrightarrow{AC}$在兩個向量方向的投影；屬于中檔題．