Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形，，.是的中點(diǎn)，底面，在平面上的正投影為點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).

(1)求證：為中點(diǎn)；

(2)若，，在棱上確定一點(diǎn)，使得平面，并求出與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：

（1）連接OE，可得四邊形BCDO是平行四邊形，由PO⊥底面ABCD．O在平面PAD上的正投影為點(diǎn)H，可得AD⊥OE，又AO=OD，即可得E為AD中點(diǎn)；（2）以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∴，∴，又是平面PAB的法向量，求出面PCD的法向量，即可求得OG與面PCD所成角的正弦值．

詳解：(1)連結(jié)，∵，是中點(diǎn)，，

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，∴，

∵在平面的正投影為，∴平面，∴，

又∵，∴平面，∴，

又∵，∴是的中點(diǎn).

(2)∵，，∴，∵平面，

∴以為原點(diǎn)，，，分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

∴，，，，∵，，

∴，

∴，∴是的外心，∵，

∴是的重心，∴，

設(shè)，∴，∴，

又∵是平面的一個(gè)法向量，且平面，

∴，∴，解得，∴，

設(shè)是平面的法向量，∵，，

∴，即，取，則，，∴

∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.