Question

設(shè)首項(xiàng)為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₅=11，S₁₀=120
（1）求a₁和d；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足于

n

b1+2b2+22b3+…+2n-1bn

=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）利用遞推式可得b_n，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵首項(xiàng)為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=11，S₁₀=120；
∴

a1+4d=11 10a1+ 10×9 2 d=120

，解得

a1=3 d=2

，
（2）由（1）可得a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∵數(shù)列{b_n}滿足于

n

b1+2b2+22b3+…+2n-1bn

=

1

an

，
∴b1+2b2+22b3+…+2^n-1b_n=na_n=n（2n+1），
當(dāng)n≥2時(shí)，b1+2b2+22b3+…+2^n-2b_n-1=（n-1）（2n-1），
∴2^n-1b_n=4n-1．
∴bn=

4n-1

2n-1

．n=1時(shí)也成立．
∴bn=

4n-1

2n-1

．
∴T_n=3+

7

2

+

11

22

+…+

4n-1

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

3

2

+

7

22

+…+

4n-5

2n-1

+

4n-1

2n

，
∴

1

2

Tn=3+4(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

4n-1

2n

=3+4×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

4n-1

2n

=3+4-

4n+7

2n

．
∴T_n=14-

4n+7

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．