Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-2}\\{y=t+2}\end{array}}$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}（α為參數(shù)）}$．
（1）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最值．
（2）請(qǐng)問是否存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足S_△AOB=$\frac{3}{4}$；若存在，請(qǐng)求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosα，sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)Q到直線l的距離d，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）假設(shè)存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點(diǎn)A、B滿足S_△AOB=$\frac{3}{4}$；設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l：x-y+t=0．由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}（α為參數(shù)）}$．化為化為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，聯(lián)立方程得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)O到直線m的距離，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)系方程x-y+4=0，…（2分）
因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosα，sinα），從而點(diǎn)Q到直線l的距離為
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sin+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$cos（α+$\frac{π}{6}$）+2$\sqrt{2}$，…（4分）
由此得，當(dāng)cos（α+$\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，d取得最小值，且最小值為$\sqrt{2}$
當(dāng)cos（α+$\frac{π}{6}$）=1時(shí)，d取得最大值，且最大值為3$\sqrt{2}$．…（6分）
（2）設(shè)l平行線m方程：x-y+n=0，…（7分）
由曲線C的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}（α為參數(shù)）}$，化為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
直線代入，化為4x²+6nx+3n²-3=0．
∵直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴△=36n²-16（3n²-3）＞0，化為n²＜4（*）．
∴x₁+x₂=-$\frac{3n}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{n}^{2}-3}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{3-\frac{3{n}^{2}}{4}}$，
設(shè)O到直線m的距離為d，則$d=\frac{|n|}{{\sqrt{2}}}$…（10分）
${S_{△AOB}}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{3-{{\frac{3n}{4}}^2}}•\frac{|n|}{{\sqrt{2}}}$，$n=±\sqrt{3}或n=±1$，經(jīng)驗(yàn)證均滿足題意，
所以滿足題意直線m有4條，方程為：$x-y±\sqrt{3}=0，x-y±1=0$，…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、點(diǎn)到直線的距離公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、相互平行的直線的斜率之間的關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．