Question

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB∥EC，F為EA的中點，EC=AC=2，BD=1．
（Ⅰ）求證：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求平面DEA與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AC的中點O，連結BO，由已知得四邊形FOBD為平行四邊形，由此能證明DF∥平面ABC．
（Ⅱ）分別以OA，OB，OF為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面DEA與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：取AC的中點O，連結BO．
在△AEC中，FO

∥

.

1

2

EC，又據題意知，BD

∥

.

1

2

EC．
∴FO

∥

.

BD，∴四邊形FOBD為平行四邊形．
∴DF∥OB，又DF?平面ABC，OB?平面ABC．
∴DF∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ）解：∵FO∥FC，∴FO⊥平面ABC．
在正△ABC中，BO⊥AC，∴OA，OB，OF三線兩兩垂直．
分別以OA，OB，OF為x，y，z軸，建系如圖．
則A（1，0，0），E（-1，0，2），D（0，

3

，1）．
∴

AE

=（-2，0，2），

AD

=（-1，

3

，1）．
設平面ADE的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AE =-2x+2z=0 n • AD =-x+ 3 y+z=0

，令x=1，則z=1，y=0．
∴平面ADE的一個法向量為

n

=（1，0，1）．
又平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1）．
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

2

=

2

2

．
∴平面DEA與平面ABC所成的銳二面角的余弦值

2

2

．…（8分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．