Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xoOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)M平行于直線l的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若|MA|•|MB|=3，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由極坐標(biāo)方程的定義可得直線l的方程，對于曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)計(jì)算即可得答案；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀．y₀）及過點(diǎn)M的直線為${L_1}：\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y={y_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，結(jié)合題意直線L₁與曲線C相交可得：${t^2}+\sqrt{2}（{{x_0}+{y_0}}）t+{x_0}^2+{y_0}^2-1=0$，又由題意可得$|{{x_0}^2+{y_0}^2-1}|=3$，將其變形可得答案．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$，所以直線斜率為1，直線l：y=x；
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$，消去參數(shù)θ，
可得曲線C：x²+y²=1，
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀．y₀）及過點(diǎn)M的直線為${L_1}：\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y={y_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，
由直線L₁與曲線C相交可得：${t^2}+\sqrt{2}（{{x_0}+{y_0}}）t+{x_0}^2+{y_0}^2-1=0$，
因?yàn)閨MA|•|MB|=3
所以$|{{x_0}^2+{y_0}^2-1}|=3$，即：${x_0}^2+{y_0}^2=4$，
$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒2{x^2}+2mx+{m^2}-1=0$
由$△＞0⇒-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$
故點(diǎn)M的軌跡的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=4（夾在兩直線$y=x±\sqrt{2}$之間的兩段圓�。�

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)以及參數(shù)方程的應(yīng)用，涉及極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)系方程的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的意義．