Question

10．設（1-$\frac{1}{2}$x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+${a_3}{x^3}$+…+${a_n}{x^n}$，若|a₀|，|a₁|，|a₂|成等差數(shù)列．
（1）求（1-$\frac{1}{2}$x）ⁿ展開式的中間項；
（2）求（1-$\frac{1}{2}$x）ⁿ展開式中所有含x奇次冪的系數(shù)和；
（3）求a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項展開式的通項公式，等差數(shù)列的定義，求得n的值，可得展開式的中間項．
（2）在所給的等式中，分別令x=1，x=-1，再把它們相加，可得展開式中含x的奇次冪的系數(shù)和．
（3）在所給的等式中，兩邊分別對x求導數(shù)，再令x=1，可得a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．

解答 解：（1）依題意得  ${T_{r+1}}=C_n^r{（-\frac{1}{2}）^r}{x^r}$，r=0，1，…，n．
則a₀=1，${a_1}=-\frac{n}{2}$，${a_2}={C_n}^2{（-\frac{1}{2}）^2}=\frac{n（n-1）}{8}$，
由2|a₁|=|a₀|+|a₂|得n²-9n+8=0可得n=1（舍去），或n=8．
所以${（1-\frac{1}{2}x）^8}$展開式的中間項是${T_5}=C_8^4{（-\frac{1}{2}x）^4}=\frac{35}{8}{x^4}$．
（2）${（1-\frac{1}{2}x）^n}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_n}{x^n}$，即${（1-\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$，
令x=1得${a_0}+{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_8}={（\frac{1}{2}）^8}$，令x=-1得${a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_8}={（\frac{3}{2}）^8}$，
兩式相減得$2（{{a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}}）=\frac{{1-{3^8}}}{2^8}$，即${a_1}+{a_3}+{a_5}+{a_7}=\frac{{1-{3^8}}}{2^9}=-\frac{205}{16}$，
所以展開式中含x的奇次冪的系數(shù)和為$-\frac{205}{16}$．
（3）∵${（1-\frac{1}{2}x）^8}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}+…+{a_8}{x^8}$，
兩邊求導得：$-4{（1-\frac{1}{2}x）^7}={a_1}+2{a_2}x+3{a_3}{x^2}+…+8{a_8}{x^7}$，
令x=1得 ${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+8{a_8}=-4{（{\frac{1}{2}}）^7}=-\frac{1}{32}$．

點評 本題主要考查等差數(shù)列的定義，求函數(shù)的導數(shù)，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．