Question

20．已知三棱錐A-BCD中，△ACD為等邊三角形，且平面ACD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=CD=2，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（　�。�

• A． 5π
• B． $\frac{20}{3}$π
• C． 8π
• D． $\frac{28}{3}$π

Answer 1

分析 取DC中點E，連結(jié)AE，以E為原點，過E作BD的平行線為x軸，EC為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出球半徑，由此能求出三棱錐A-BCD外接球的表面積．

解答 解：取DC中點E，連結(jié)AE
∵三棱錐A-BCD中，△ACD為等邊三角形，且平面ACD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD=CD=2，
∴BD⊥平面ADC，AE⊥平面BDC，
以E為原點，過E作BD的平行線為x軸，EC為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，$\sqrt{3}$），B（2，-1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），
設(shè)球心坐標為O（x，y，z），
則${x}^{2}+{y}^{2}+（z-\sqrt{3}）^{2}$=（x-2）²+（y+1）²+z²=x²+（y-1）²+z²=x²+（y+1）²+z²，
解得x=1，y=0，z=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴球半徑R=$\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴三棱錐A-BCD外接球的表面積為S=4π×（$\sqrt{\frac{7}{3}}$）²=$\frac{28π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查本棱錐外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．