Question

5．為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間利用問題，某校從2015-2016學(xué)年高二年級(jí)1000名學(xué)生（其中走讀生450名，住宿生550名）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），得到頻率分布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值；
（2）如果“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”，則認(rèn)為其利用時(shí)間充分，否則，認(rèn)為利用時(shí)間不充分；對(duì)抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	合計(jì)
走讀生	30
住校生		10
合計(jì)

據(jù)此資料，是否有95%的把握認(rèn)為“學(xué)生利用時(shí)間是否充分”與“走讀、住�！庇嘘P(guān)？
（3）若在第①組、第②組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，求抽出的2人中第①組、第②組各有1人的概率．

附：k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

p（K2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.83

Answer 1

分析 （1）由分層抽樣及頻率分布直方圖的特點(diǎn)即可求得結(jié)果；
（2）由分布直方圖可完成表格，再將數(shù)據(jù)帶入給定的公式即可；
（3）先列出基本事件總數(shù)的情況，再挑出滿足條件的情況即可．

解答 解：（1）由圖可知：學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的頻率為P₁+P₂=0.05，
由題意：n×0.05=5，∴n=100
（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，
“走讀生”有45人，利用時(shí)間不充分的有40人，
從而2×2列聯(lián)表如下：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	合計(jì)
走讀生	30	15	45
住校生	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)
k=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$≈3.030，
因?yàn)?.030＜3.841，
所以沒有95%的把握認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)；
（3）記第①組2人為A₁、A₂，第②組的3人為B₁、B₂、B₂，則“從5人中抽取2人”
所構(gòu)成的基本事件空間Ω=“A₁A₂、A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃、B₁B₂、B₁B₃、B₂B₃”，共10個(gè)基本事件；
記“抽取2人中第①組、第②組各有1人”記作事件A，
則事件A所包含的基本事件有：A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃共6個(gè)基本事件，
∴$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，即抽出的2人中第①組第②組各有1人的概率為$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了2×2列聯(lián)表的應(yīng)用問題，考查了概率的計(jì)算問題，考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．