Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-sinx．若直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，證明：直線l的斜率k＞0．

Answer 1

分析 求出直線斜率k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，根據(jù)f（x）遞增得到即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，求出  $\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，從而求出k＞0．

解答 證明：（Ⅰ）直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，
∴k=$\frac{{{y}_{2}-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，
∵f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂），即x₁-sinx₁＜x₂-sinx₂，
∴$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜1，
∴k=1-$\frac{si{nx}_{2}-si{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＞0，
即直線l的斜率k＞0；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．