Question

17．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有（a₁+a₂+a₃+…+a_n）²=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)a₁，a₂，a₃（請(qǐng)寫出所有可能的結(jié)果）；
（2）是否存在滿足條件的無(wú)窮數(shù)列{a_n}，使得a₂₀₁₇=-2016？若存在，求出這樣的無(wú)窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）記a_n點(diǎn)所有取值構(gòu)成的集合為A_n，求集合A_n中所有元素之和（結(jié)論不要證明）．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推式，n分別取1，2，3，代入計(jì)算，即可得到結(jié)論；
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）．可得再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}的任一項(xiàng)a_n與它的前一項(xiàng)a_n-1間的遞推關(guān)系；利用a₁=1，a₂₀₁₇=-2016，所以無(wú)窮數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)組成首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，從第2016項(xiàng)開始組成首項(xiàng)為-2016，公比為-1的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)．
（3）根據(jù)遞推式得出A_n的所有元素規(guī)律，利用歸納法得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁³=a₁²，由a₁≠0得a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，1+a₂³=（1+a₂）²，由a₂≠0得a₂=2或a₂=-1．
當(dāng)n=3時(shí)，1+a₂³+a₃³=（1+a₂+a₃）²，若a₂=2得a₃=3或a₃=-2；若a₂=-1得a₃=1；
綜上討論，滿足條件的數(shù)列有三個(gè)：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）．
從而（S_n+a_n+1）2=a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³，
兩式相減，結(jié)合a_n+1≠0，得2S_n=a_n+1²-a_n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（a_n+1²-a_n+1）-（a_n²-a_n），即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1．
又a₁=1，a₂₀₁₇=-2016，所以無(wú)窮數(shù)列{a_n}的前2016項(xiàng)組成首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，從第2016項(xiàng)開始組成首項(xiàng)為-2016，公比為-1的等比數(shù)列．
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，1≤n≤2016}\\{（-1）^{n}•2016，n＞2016}\end{array}\right.$．
（3）由（2）可知a₁=1，a_n=-a_n-1或a_n=a_n-1+1（n≥2），
故A₁={1}，A₂={-1，2}，A₃={1，-2，3}，A₄={-1，2，-3，4}，…
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A_n的所有元素之和為1+3+5+…+n-（2+4+6+…n-1）=$\frac{1+n}{2}•\frac{n+1}{2}$-$\frac{n+1}{2}•\frac{n-1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A_n的所有元素之和為2+4+6+…+n-（1+3+5+…+n-1）=$\frac{n+2}{2}•\frac{n}{2}$-$\frac{n}{2}•\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)、求和與不等式等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．