Question

1．過原點的直線l與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$有兩個交點，則直線l的斜率的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）∪（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$
• C． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}]∪[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 設(shè)過原點的直線方程為y=kx，與雙曲方程聯(lián)立，得：x²（3k²-1）-9=0，因為直線與雙曲有兩個交點，所以△=36（3k²-1）＞0，由此能求出k的范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{3}=-1$，即為$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
設(shè)過原點的直線方程為y=kx，
與雙曲方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{3{y}^{2}-{x}^{2}=9}\end{array}\right.$，
得：x²（3k²-1）-9=0，
因為直線與雙曲有兩個交點，所以△=36（3k²-1）＞0，
∴k²＞$\frac{1}{3}$，
解得k＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．