Question

已知⊙C₁：x²+（y+2）²=1，⊙C₂：(x+

3

)2+(y-1)2=1；坐標平面內的點P滿足：存在過點P的無窮多對夾角為60°的直線l₁和l₂，它們分別與⊙C₁和⊙C₂相交，且l₁被⊙C₁截得的弦長和l₂被⊙C₂截得的弦長相等．請你寫出所有符合條件的點P的坐標：

（

3

，1）；（-2

3

，-2）

．

Answer 1

分析：由題意得到：C₁坐標為（0，-2），C₂坐標為（-

3

，1），半徑都為1，設P（m，n），設直線l₁方程為：y-n=k（x-m），則直線l₂方程為：y-n=

-k- 3

3 k-1

（x-m），由此能寫出所有符合條件的點P的坐標．

解答：解：由題意得到：C₁坐標為（0，-2），C₂坐標為（-

3

，1），半徑都為1，
設P（m，n），設直線l₁方程為：y-n=k（x-m），
則直線l₂方程為：y-n=

-k- 3

3 k-1

（x-m），
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，
及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，
即

|-km+2+n|

1+k2

=

| -k- 3 3 k-1 (- 3 -m)+n-1|

1+( -k- 3 3 k-1 )2

，
整理得：(

3

，1)，(-2

3

，-2)．
故答案為：(

3

，1)，(-2

3

，-2)．

點評：本題考查直線與圓的位置關系的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．