Question

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5，點A（1，-3）
（Ⅰ）求過點A與⊙C₁相切的直線l的方程；
（Ⅱ）設⊙C₂為⊙C₁關于直線l對稱的圓，則在x軸上是否存在點P，使得P到兩圓的切線長之比為

2

？薦存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判定點在圓上，用點斜式求切線l的方程．
（Ⅱ）求出對稱圓的方程，設x軸上P點坐標，利用半徑和PC₂的距離，解出兩個切線長，再用切線長之比解出結果．

解答：解：（Ⅰ）C1(0，-5)，r1=

5

，
因為點A恰在⊙C₁上，所以點A即是切點，KC1A=

-3+5

1

=2，所以k1=-

1

2

，
所以，直線l的方程為y+3=-

1

2

(x-1)，即x+2y+5=0；
（Ⅱ）因為點A恰為C₁C₂中點，所以，C₂（2，-1），
所以，⊙C₂：（x-2）²+（y+1）²=5，
設P(a，0)，

P C 2 1 -5

P C 2 2 -5

=2①，或

P C 2 2 -5

P C 2 1 -5

=2②，
由①得，

a2+20

(a-2)2-4

=2，解得a=-2或10，所以，P(-2，0)或(10，0)，
由②得，

a2-4a

a2+20

=2，求此方程無解．
綜上，存在兩點P（-2，0）或P（10，0）適合題意．

點評：本題（Ⅰ）A點的判定；（Ⅱ）中直角三角形的應用，對稱性，弦長等知識的考查，都為本題增加了難度．