Question

求：函數(shù)y=sinx-cosx+sin2x在[0，π]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：令sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)=t，所以求出sin2x=1-t²，所以原函數(shù)變成：y=-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

，根據(jù)x的范圍，求出t的范圍，從而求出關于t的二次函數(shù)的最值，從而求出y的值域．

解答： 解：令sinx-cosx=t，∴sin2x=1-t²；
∵sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
∵x∈[0，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin(x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，

2

sin(x-

π

4

)∈[-1，

2

]，
即t∈[-1，

2

]；
∴y=t+1-t2=-(t-

1

2

)2+

5

4

；
∴t=

1

2

時，ymax=

5

4

；t=-1時，y_min=-1；
∴函數(shù)y在[0，π]上的值域為[-1，

5

4

]．

點評：本題考查二倍角的正弦公式，兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的最值以及配方法求二次函數(shù)最值的方法．