Question

已知橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（2，

2

），一個焦點F的坐標是（2，0）．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓T交于A、B兩點，O為坐標原點，橢圓T的離心率為e，若k_OA•k_OB=e²-1，求證：△AOB的面積為定值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的a，b，c的關(guān)系，點P在橢圓上滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點的橫縱坐標的和與積，由弦長公式求得|AB|，由點到直線的距離公式求得O到AB的距離，代入三角形的面積公式證得答案．

解答： （1）解：由題意可得，c=2，即有a²-b²=4，
又

4

a2

+

2

b2

=1，解得，a=2

2

，b=2，
則隨圓T的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）證明：e=

c

a

=

2

2

．則k_OA•k_OB=e²-1=-

1

2

，
將y=kx+m代入

x2

8

+

y2

4

=1，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
由△＞0，得8k²-m²+4＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=k²•

2m2-8

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

．
∵k_OA•k_OB=-

1

2

，
∴

y1y2

x1x2

=

m2-8k2

2m2-8

=-

1

2

，即m²-4k²=2．
∵|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -4km 1+2k2 )2- 8m2-32 1+2k2

=

4 1+k2

1+2k2

．
又O點到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S_△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

•

|m|

1+k2

•

4 1+k2

1+2k2

=

1

2

•

2(1+2k2)

1+k2

•

4 1+k2

1+2k2

=2

2

為定值．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，這是處理這類問題的最為常用的方法，考查了弦長公式及點到直線的距離公式，是高考試卷中的壓軸題．