Question

19．如圖，底面是直角三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}=1$，D是棱AA₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）證明：DC₁⊥BC；
（2）求三棱錐C-BDC₁的體積．

Answer 1

分析 （1）由棱錐是直棱錐可得側(cè)面與底面垂直，由面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ACC₁A₁，進(jìn)一步得到BC⊥DC₁；
（2）利用等積法，把三棱錐C-BDC₁的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐B-CDC₁的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥底面ABC，又CC₁?面ACC₁A₁，
∴面ACC₁A₁⊥底面ABC，而面ACC₁A₁∩底面ABC=AC，
由△ABC為Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴BC⊥DC₁；
（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC₁A₁，
∵$AC=BC=\frac{1}{2}A{A_1}=1$，
∴AA₁=2，
則${S}_{△CD{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2×1=1$
∴${V_{C-BD{C_1}}}={V_{B-CD{C_1}}}$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直與線面垂直的性質(zhì)，考查了棱錐體積的求法，訓(xùn)練了等積法，是中檔題．