Question

13．實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+6≥0}\\{x-y≤0}\end{array}\right.$，當(dāng)a＞0，b＞0時，z=ax+by的最大值為3，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． 3+2$\sqrt{2}$
• C． 3+$\sqrt{2}$
• D． 2+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$的斜率為負(fù)，且截距最大時，z也最大．
平移直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時，
直線的截距最大，此時z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+6=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3）．
此時z=3a+3b=3，
即a+b=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）
=3+$\frac{2a}+\frac{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}=\frac{a}$時取=號，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．