Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且$a_5^2={a_{10}}$，$2（{a_n}+{a_{n+2}}）=5{a_{n+1}}，n∈{N^*}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令${b_n}={（-1）^n}（{a_n}+1）$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式、單調(diào)性即可得出．
（2）對n分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的首項為a₁，公比為q，
∴${（{a_1}{q^4}）^2}={a_1}{q^9}$，解得a₁=q．
又∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，∴$2（{a_n}+{a_n}{q^2}）=5{a_n}q$，∴2q²-5q+2=0，解得q=$\frac{1}{2}$，或q=2，
∵等比數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，∴取q=2，∴a_n=2ⁿ．
（2）∵${b_n}={（-1）^n}（{a_n}+1）$=（-1）ⁿ+（-2）ⁿ，
n為偶數(shù)時，${S_n}=（-1+1-1+…-1+1）+\frac{{（-2）[1-{{（-2）}^n}]}}{1-（-2）}=\frac{{-2+{2^{n+1}}}}{3}$，
n為奇數(shù)時，${S_n}=（-1+1+…1-1）+\frac{{（-2）[1-{{（-2）}^n}]}}{1-（-2）}=-1-\frac{{{2^{n+1}}+2}}{3}=-\frac{{{2^{n+1}}+5}}{3}$，
∴${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{2^{n+1}}-2}}{3}（n為偶數(shù)）}\\{-\frac{{{2^{n+1}}+5}}{3}（n為奇數(shù)）}\end{array}}\right.$，
或${S_n}=\frac{{（-1）[1-{{（-1）}^n}]}}{1-（-1）}+\frac{{（-2）[1-{{（-2）}^n}]}}{1-（-2）}=\frac{{-1-{{（-1）}^{n+1}}}}{2}+\frac{{-2-{{（-2）}^{n+1}}}}{3}$=$-\frac{7}{6}+\frac{{{{（-1）}^n}}}{2}+\frac{{{{（-2）}^n}}}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式與求和公式、單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．